4平面向量-1981-2018年历年数学联赛48套真题WORD版分类汇编含详细答案

4、平面向量部分

2017A 7、在ABC中，M为边BC的中点，N是线段BM的中点，若A为3，则AMAN的最小值为 ◆答案：

3，ABC的面积

31

★解析：由条件知AM131ABAC，ANABAC，则 244221AMAN3ABAC4ABAC，

8由3SABC13ABACsinAABAC得ABAC4 2422所以ABAC2，所以3ABAC83，当且仅当AB243,AC243时取等。

221则AMAN3ABAC4ABAC31。

8

2016A 9、（本题满分16分）在ABC中，已知ABAC2BABC3CACB，求sinC的最大值。

b2c2a2★解析：由数量积的定义及余弦定理知，ABACcbcosA．

2a2c2b2a2b2c2同理得，BABC，CACB．故已知条件化为

22b2c2a22(a2c2b2)3(a2b2c2)

即a2b3c．………………………………8分 由余弦定理及基本不等式，得

2221222ab(a2b2)222abc3 cosC2ab2ababab22 3b6a3b6a32所以sinC1cosC7．………………………………12分 33:6:5．因此sinC的最大值是

等号成立当且仅当a:b:c

7．……………16分 32015A 4、在矩形ABCD中，AB2,AD1,边DC上（包含D,C）的动点P与线段CB延长线

上（包含B）的动点Q满足DPBQ,则向量PA与向量PQ的数量积PAPQ的最小值为 ◆答案：

3 4★解析：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t, l) （其中0t2），则由

|DP||BQ|得Q的坐标为（2，-t)，故PA(t,1),PQ(2t,t1),因此，

133PAPQ(t)(2t)(1)(t1)t2t1(t)2．

24413当t时，(PAPQ)min．

24

2005*2、空间四点A,B,C,D满足AB3，BC7，CD11，DA9，则ACBD的 取值

A. 只有一个 B. 有二个 C. 有四个 D. 有无穷多个 ◆答案：A

22★解析：注意到311113079,由于ABBCCDDA0,则DADA=

2222(ABBCCD)2AB2BC2CD22(ABBCBCCDCDAB)AB2BC2CD22(BCABBCBCCDCDAB)AB2BC2CD22(AB

2BC)(BCCD),即2ACBDAD2BC2AB2CD20,

ACBD只有一个值为0，故选A。

2004*4、设点O在ABC的内部，且有OA2OB3OC0, 则ABC与AOC的面积的比为 A.2 B.

A53 C. 3 D.

321◆答案：C

B★解析：

解：如图，设面积AOCs，则OC1D3s，OB1DOB1C13s， BOSCC1DAOBOBD1.5s．OBC0.5s，进而得ABC3s。